Epreuve Maths Concours Agent de Maîtrise

[breizhe]

Bonjour,

je suis inscrite au concours d'agent de maîtrise pour janvier 2011.

Je prépare le concours seule avec des sujets que j'ai pu téléchargé (divers cdg).

Est-ce que qqn pourrait m'aider sur un problème de Maths que je n'arrive pas à résoudre (mes souvenirs de lycée sont loin sur certaines choses !).

Je vous remercie d'avance à celui ou celle qui pourra m'éclairer. Voici l'énoncé du sujet :

"Votre collectivité a fait l'acquisition d'un terrain ayant la forme d'un trapèze rectangle.
Le long de la rue Pythagore, ce terrain mesure 180m (base la + longue du trapèze). L'angle entre les rues Thalès et Pythagore est de 45° (rue Thalès = côté à gauche de Pythagore).
Vous savez également que la plus petite base du trapèze mesure le double de sa hauteur."

1ère question : Calculer les longueurs du terrain longeant chacune des rues.
2ème question : Calculer la surface du terrain.

[ThierryT]

Alors, tu prolonges les cotés de ton trapèze pour obtenir un triangle rectangle.

Soit x la hauteur de ton trapèze et 2x son petit côté.
D'après le théorême de Thalès on sait que :

180-x/180 = 2x/180 d'où x=60

De là tu peux en déduire tes différents côtés à l'aide la trigo et calculer les surfaces de ton trapèze en le décomposant en un triangle et un rectangle.

Voilà, si avec ça tu n'y arrives toujours pas, dis-le, et je te montrerai comment calculer la longueur detous les côtés et la surface.

[breizhe]

Merci pour l'aide, je vais voir ça de plus près et voir si j'y arrive jusqu'au bout.
Par contre, autre question, je n'utilise pas du tout le fait que l'angle fait 45° ? Je pensais qu'il m'aurait servi dans un des calculs !

Bon je vois ça de mon côté et je redemanderais de l'aide si souci . Merci en tout cas.


Je viens de terminer l'exercice et de le résoudre, mais je ne trouve pas la même longueur pour la hauteur que toi (60 m pour toi, 45 m pour moi).

Voici mon raisonnement : (et comment j'ai nommé les figures)
Mon trapèze ABCD est rectangle en B et l'angle BAD est de 45°. La hauteur est BC.

J'ai prolongé comme tu me l'as conseillé le trapèze pour obtenir un triangle rectangle ABE rectangle en B.
D'après Thalès : DC/AB=AD/DE

Je détermine AD d'après l'angle 45°dans le triangle rectangle ADF rectangle en F avec DF = CB = h
Soit AD=h/sin45 --> AD=2h/racine de 2 car sin45=racine de 2/2

Je détermine ensuite DE dans le triangle rectangle DCE rectangle en C (partie du trapèze prolongée):
Soit DE=2h/cos45 --> DE=4h/racine de 2 car

sin45=cos45=racine de 2/2

En reprenant la relation de Thalès : DC/AB=AD/DE --> on trouve h = 45 m

Les longueurs du trapèze sont donc :
AB=Rue Pythagore=180m (connue)
BC=Rue Sinus=45m (h)
CD=Rue Cosinus=90m (2h)
DA=Rue Thalès=63,63m (2h/racine de 2)

La surface du trapèze : [(Base+base)*hauteur]/2 --> [(180+2h)*h]/2 --> 6075m²

Voilà.
Je ne voyais pas de quoi vous partiez pour trouver à Thalès 180-h/180=2h/180 ?

J'espère m'être faire comprendre avec le blabla des lettres ... sans figure, c'est pas évident.
En tout cas merci de vous être pencher sur mon pb, ça m'a débloqué l'exo et j'ai enfin pu trouver un raisonnement.

[ThierryT]

D'après Thalès : DC/AB=AD/DE

C'est là que tu as faux.

DC/AB = ED/EA...


On reprend :
1) Calcul de la longueur des cotés du trapèze
La somme des angles d'un triangle est de 180°, on en déduit donc que l'angle en CED est de 45°, d'après les propriétés d'un triangle, on déduit donc que ABE est isocèle; d'où EB=180m

Soit h, la hauteur du trapèze et 2h la longueur de sa petite base, tel que défini dans l'énoncé.
En appliquant le théorème de Thalès, on sait que DC/AB = ED/EA = EC/EB,
En outre on sait que :
DC = 2h
AB = 180
EC = 180-h
EB = 180

On a donc la relation : 2h/180 = 180-h/180, on a le même dénominateur, on peut donc simplifier de la sorte : 2h = 180-h d'où 3h = 180, h = 180/3
Résultat : h = 60 et 2h = 120
On connait maintenant DC = 120 et CB =60.

Il ne reste plus qu'à calculer la longueur AD.
Soit F, le point le point d'intersection entre AB et la hauteur du triangle ADF, rectangle en F, on a CB = FD = h = 60
AD = FD/cos45 = 84,86m

En réponse les longueurs des cotés du trapèze sont :
BC = 60m, AB = 180m, AD = 84,86m, CD = 120m

2) Calcul de l'aire du trapèze
On determine deux figures distinctes dans le trapèze ABCD :

a) Un rectangle FBCD dont la l'aire est Lxl donc BCxCD = 120x60 = 7200m²
Le rectangle a une aire de 7200m²

b) Un triangle AFD dont l'aire est bxh/2 donc AFxFD/2
De la même manière qu'en 1) on sait que la somme des angles d'un triangle est de 180°, on en déduit donc que l'angle en ADF est de 45°, d'après les propriétés d'un triangle, on déduit donc que AFD est isocèle; d'où AF= 60
Donc l'aire de AFD est de 60x60/2 = 1800
L'aire du triangle est de 1800m²

En réponse, l'aire du trapèze est de 9000m²


Voilà pour la solution complète et comment je le rédigerai le jour de l'examen.